Ирационални изрази,уравнения и неравенства

Грешка

Грешка при зареждане на модулите:MySQL server has gone away SQL=SELECT id, title, module, position, content, showtitle, control, params FROM tb_modules AS m LEFT JOIN tb_modules_menu AS mm ON mm.moduleid = m.id WHERE m.published = 1 AND m.access <= 0 AND m.client_id = 0 AND ( mm.menuid = 69 OR mm.menuid = 0 ) ORDER BY position, ordering
Грешка при зареждане на модулите:MySQL server has gone away SQL=SELECT id, title, module, position, content, showtitle, control, params FROM tb_modules AS m LEFT JOIN tb_modules_menu AS mm ON mm.moduleid = m.id WHERE m.published = 1 AND m.access <= 0 AND m.client_id = 0 AND ( mm.menuid = 69 OR mm.menuid = 0 ) ORDER BY position, ordering
Грешка при зареждане на модулите:MySQL server has gone away SQL=SELECT id, title, module, position, content, showtitle, control, params FROM tb_modules AS m LEFT JOIN tb_modules_menu AS mm ON mm.moduleid = m.id WHERE m.published = 1 AND m.access <= 0 AND m.client_id = 0 AND ( mm.menuid = 69 OR mm.menuid = 0 ) ORDER BY position, ordering
Грешка при зареждане на модулите:MySQL server has gone away SQL=SELECT id, title, module, position, content, showtitle, control, params FROM tb_modules AS m LEFT JOIN tb_modules_menu AS mm ON mm.moduleid = m.id WHERE m.published = 1 AND m.access <= 0 AND m.client_id = 0 AND ( mm.menuid = 69 OR mm.menuid = 0 ) ORDER BY position, ordering
Грешка при зареждане на модулите:MySQL server has gone away SQL=SELECT id, title, module, position, content, showtitle, control, params FROM tb_modules AS m LEFT JOIN tb_modules_menu AS mm ON mm.moduleid = m.id WHERE m.published = 1 AND m.access <= 0 AND m.client_id = 0 AND ( mm.menuid = 69 OR mm.menuid = 0 ) ORDER BY position, ordering
Грешка при зареждане на модулите:MySQL server has gone away SQL=SELECT id, title, module, position, content, showtitle, control, params FROM tb_modules AS m LEFT JOIN tb_modules_menu AS mm ON mm.moduleid = m.id WHERE m.published = 1 AND m.access <= 0 AND m.client_id = 0 AND ( mm.menuid = 69 OR mm.menuid = 0 ) ORDER BY position, ordering
Грешка при зареждане на модулите:MySQL server has gone away SQL=SELECT id, title, module, position, content, showtitle, control, params FROM tb_modules AS m LEFT JOIN tb_modules_menu AS mm ON mm.moduleid = m.id WHERE m.published = 1 AND m.access <= 0 AND m.client_id = 0 AND ( mm.menuid = 69 OR mm.menuid = 0 ) ORDER BY position, ordering
Грешка при зареждане на модулите:MySQL server has gone away SQL=SELECT id, title, module, position, content, showtitle, control, params FROM tb_modules AS m LEFT JOIN tb_modules_menu AS mm ON mm.moduleid = m.id WHERE m.published = 1 AND m.access <= 0 AND m.client_id = 0 AND ( mm.menuid = 69 OR mm.menuid = 0 ) ORDER BY position, ordering
Грешка при зареждане на модулите:MySQL server has gone away SQL=SELECT id, title, module, position, content, showtitle, control, params FROM tb_modules AS m LEFT JOIN tb_modules_menu AS mm ON mm.moduleid = m.id WHERE m.published = 1 AND m.access <= 0 AND m.client_id = 0 AND ( mm.menuid = 69 OR mm.menuid = 0 ) ORDER BY position, ordering

Дипломна работа, 53 стандартни страници, съдържа формули (задачи), има апарат

v:* {behavior:url(#default#VML);} o:* {behavior:url(#default#VML);} w:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);} Normal 0 21 false false false MicrosoftInternetExplorer4 /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:"Table Normal"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;}

УВОД

Изучаването на ирационални числа, ирационални изрази и свързаните с тях уравнения и неравенства са важна част от обучението по математика в средните училища, при извънкласна работа по математика, а също така и при подготовка на учениците за математически състезания и конкурси. На този въпрос е поставена тази дипломна работа.

В глава първа се въвеждат понятията ирационални числа, ирационални изрази и подобни ирационални изрази.

Във втора глава се разглеждат ирационални уравнения и три основни метода за решаването им.

В трета глава се разискват ирационални неравенства и въпросите за тяхната еквивалентност. Различните методи са приложени в решаването на голям брой примери и задачи (за работа в клас, за извънкласна работа, за математически конкурси и за математически състезания).

ГЛАВА ПЪРВА

Ирационални числа и изрази

1.1. Ирационални числа

Първото доказателство за съществуването на ирационални числа се преписва на един от учениците на Питагор, който се опитвал да представи като рационална дроб и стигнал до противоречие. Допуска се, че ученикът на Питагор е разсъждавал по следния начин:

Нека е рационално число, което може да се представи като несъкратима обикновена дроб. Тогава . Равенството се освобождава от радикала (корена) като се повдига на втора степен, съответно придобива следния вид

Умножава се на кръст с цел да се освободи знаменателя и се получава равенството

Лявата страна се дели на две, но равенството е изпълнено, когато и дясната част се дели на две следователно се дели на две. От тук следва, че е четно число (), след което се замества в равенството и се получава:

От последното равенство се стига до заключение, че е четно число. Тогава числителят и знаменателят (на дробта ) са четни числа, т.е. съществува противоречие, тъй като в началото се допусна, че е обикновена несъкратима дроб.

Констатират се следните изводи:

- Числото не е рационално, т.е. то е ирационално число.

- Числата, които могат да се представят като безкрайни, непериодични, десетични дроби се наричат ирационални. Едно от най-известните ирационални числа е .

- Ирационалните числа не могат да се представят във вида , където и са взаимно прости цели числа и .

1.2. Ирационални изрази

Алгебричен израз, който е образуван от няколко аргумента x, y, ..., v и реални числа, чрез извършване на краен брой рационални действия (събиране, изваждане, умножение и деление, без деление на 0) и действието коренуване e ирационален израз [1].

Ирационалните изрази, които имат равни показатели на корените, еднакви подкоренни величини и се различават само с коефициентите си сa подобни [1].

Пример 1.2.1. Докажете, че ирационалните изрази и са подобни.

Решение:

За да се докаже, че ирационалните изрази и са подобни трябва да се провери дали са изпълнени условията за подобност.

Първото условие е изпълнено, тъй като показателите на корените са равни, т.е. ( и ). Безспорно второто условие, а именно еднаквостта на подкоренните величини, е удовлетворено, т.е. ( и ). Очевидно е, че коефициентите пред ирационалните изрази и са различни съответно и третото условие е июпълнено. От това, че трите условия за подобност на ирационални изрази са удовлетворени следва, че и са подобни.

1.2.1. Преобразуване на ирационални изрази

Нека е реално неотрицателно число и n е цяло число, което е по-голямо или равно на две. Съществува реално неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на x. Това число се бележи с и се нарича аритметичен n-ти корен от x . Съгласно казаното следва, че и [1]. Известни са основните правила, които са в сила при аритметичните корени (коренуване на произведение, частно и т.н.).

Понятието корен може да се въведе и когато числото x е отрицателно, но при условие, че n=2k+1 [1]. В този случай се доказва, че съществува само едно реално отрицателно число, която n-та степен е равна на x. Показва се, че това число, което наричаме нечетен n-ти корен от отрицателното число x, където . С е означен аритметичният 2к+1-ви корен от числото [1].

Ако и n=2k , освен аритметичния корен , съществува и още едно реално число, чиято n-та степен е равна на x , това число е (-1) [1]. При задачите под аритметичен корен се има предвид четен корен от неотрицателно число. В това отношение е полезно да се помни формулата и [1].

------------------------------------------------------------

Normal 0 21 false false false MicrosoftInternetExplorer4 /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:"Table Normal"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;} table.MsoTableGrid {mso-style-name:"Table Grid"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext; mso-border-insidev:.5pt solid windowtext; mso-para-margin-top:0cm; mso-para-margin-right:0cm; mso-para-margin-bottom:10.0pt; mso-para-margin-left:0cm; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:Calibri; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;}

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В глава първа основно внимание е обърнато на тъждествените преобразувания на ирационални изрази. В примерите и задачите са приложени правилата за рационализиране и специфични формули за съкратено умножение.

В глава втора са разгледани три основни метода за решаване на ирационални уравнения, а именно чрез степенуване, чрез субституция (полагане) и чрез приложение на производните. Разгледани са и примери за композиции на ирационални, показателни и логаритмични функции. Всички примери завършват с проверки за отстраняване на чуждите корени.

В трета глава се разглеждат условията за еквивалентност на ирационалните неравенства и свързаните с тях методи за решението им (рационализиране, метод на интервалите, свойствата на монотонните функции и графично представяне).

ЛИТЕРАТУРА

1. Манолов, С. и др., Сборник от задачи по математика за кандидат-студенти, Наука и изкуство, София, 1974

2. Коларов, К. и др., Сборник задачи по алгебра VII-XII клас, Интеграл, Добрич, 2003

3. Лозанов, Ч. и др., Математика за 11 клас, Анубис, София, 2000

4. Василевский, А., Методы решения задач, Вышэйшая школа, Минск, 1974

СЪДЪРЖАНИЕ

Увод .………………………………………...	1
ГЛАВА ПЪРВА Ирационални числа и изрази
1.1. Ирационални числа ………...……………………………………………		2
1.2. Ирационални изрази …………………………………………………..		3
1.2.1. Преобразуване на ирационални изрази ……………………….		4
1.3. Задачи ……………………………………………………………………		6
1.3.1. Задача 1………………………………………………………………..		6
1.3.2. Задача 2 ……………………………………………………………….		11
ГЛАВА ВТОРА Ирационални уравнения
2.1. Решаване на ирационални уравнения чрез степенуване ………...		12
2.2. Решаване на ирационални уравнения чрез субституция (полагане) ………………………………………………………………………		16
2.3. Решаване на ирационални уравнения чрез приложение на производните …………………………………………………………………..		22
2.4. Задачи ……………………………………………………………………..		24
2.4.1. Задача 1 ……………………………………………………………….		24
2.4.2. Задача 2 ……………………………………………………………….		29
2.4.3. Задача 3 ……………………………………………………………		34
ГЛАВА ТРЕТА Ирационални неравенства
3.1. Решаване на ирационални неравенства чрез метода на интервалите ……………………………………………………………………		40
3.2. Задачи ……………………………………………………………………..		42
3.2.1. Задача 1 ……………………………………………………………….		42
3.2.2. Задача 2 ……………………………………………………………….		44
3.2.3. Задача 3 ……………………………………………………………….		45
3.2.4. Задача 4 ……………………………………………………………….		47
3.2.5. Задача 5 ……………………………………………………………….		48

Коментари на клиенти:

Все още няма коментари за този материал.
Моля, влезте в системата с потебителско име и парола, за да оставите коментар.